Variation der Konstante, DG 2. Ordnung

[Gast]

Guten Abend,
ich hätte eine Frage zur Variation der Konstanten bei Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Konkret geht es um folgendes Bsp. einer alten Vorlesungsprüfung:

\[y^{\prime\prime}+2y^\prime+y=\frac{e^{-x}}{1+x^2}\]

"Berechnen Sie eine Partikulärlösung mit Variation der Konstanten."

Die zugehörige homogene Lösung sollte ja \(y=c_1 e^{-x}+c_2 x e^{-x}\) sein. Allerdings hat man hier dann ja zwei Konstanten zu variieren und bräuchte demnach ja auch zwei Gleichungen um diese dann auch bestimmen zu können. Mir ist nicht ganz klar wie man die Gleichungen findet.

Aus Versehen wurde zuerst auch mit der vermeintlich richtigen homogenen Lösung y=c_1 e^{-x} so wie bei der bekannten Variation der Konstanten gerechnet. Merkwürdigerweise kommt dann dasselbe (richtige) Ergebnis für die partikuläre Lösung raus, nämlich:
\[y=e^{-x}\cdot\left(x\cdot\arctan(x)-\frac{1}{2}\cdot \ln(1+x^2)\right)\]

Ist das Zufall, oder steckt da eine besondere Eigenschaft dahinter?

[William Kaminger]

Guten Abend!

Die homogene Lösung passt. Zum Finden einer partikulären Lösung mittels Variation der Konstanten lautet der Ansatz natürlich
\[y_p(x)=c_1(x)e^{-x}+c_2(x)x e^{-x},\]
wobei \(c_1\) und \(c_2\) zu bestimmen sind. Das zu lösende LGS ist dann
\[\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^\prime & y_2^\prime \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c_1^\prime \\ c_2^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ f(x) \end{pmatrix},\]
wobei \(f(x)=\frac{e^{-x}}{1+x^2}\) die Inhomogenität ist. Für Diffgl. höherer Ordnung funktioniert dies analog (siehe dazu S.170 bzw. 176 im Skriptum).

Dass du auch mit dem "vereinfachten" Ansatz \(y_p(x)=c(x)\cdot e^{-x}\) "durchkommst", liegt einerseits daran, dass es eben auch Lösungen dieser Form gibt, nämlich mit \(c(x)=x\cdot\arctan(x)-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\), andererseits aber auch noch genügend "Informationen" im Ansatz stecken, sodass sich die Unbekannten noch gut bestimmen lassen. Ein Ansatz der Form \(y_p(x)=u(x)\) wäre zwar zulässig, würde aber nichts bringen, ein Ansatz der Form \(y_p(x)=\left(c\cdot\ln(1+x^2)+x\cdot\arctan(x)\right)\cdot e^{-x}\) dagegen würde selbstverständlich funktionieren, wäre aber sehr schwer zu erraten bzw. nicht allgemein anwendbar.

Die Variation der Konstanten sagt dir also nicht, dass dies der beste Ansatz sei, sondern nur mit einer Lösung des obigen LGS eine Lösung der Diffgl. darstellt. In Spezialfällen kann man natürlich auch andere/genauere Ansätze versuchen. Ihr habt ja auch schon die Ansatzmethode kennengelernt (die hier natürlich nicht anwendbar ist).

Die von dir genannte partikuläre Lösung ist jedenfalls richtig.

PS: Wenn dies in der Prüfung so formuliert sein sollte, so ist aber bitte der obere (allgemeinere) Ansatz zu machen.

[Gast]

Vielen Dank!
Kurze Frage noch: Gilt der Trick zum invertieren einer 2x2 Matrix (Vertauschen der Elemente auf der Hauptdiagonalen usw.) auch bei solchen Einträgen?

[Gast]

Ok, habe es gerade ausprobiert und es scheint zu funktionieren. Ob es der einfachste Weg ist das GS zu lösen ist halt die Frage...

[William Kaminger]

Vielen Dank!
Kurze Frage noch: Gilt der Trick zum invertieren einer 2x2 Matrix (Vertauschen der Elemente auf der Hauptdiagonalen usw.) auch bei solchen Einträgen?

Ja, das kann man machen. Der Satz von Liouville garantiert dir sogar, dass du keine "Probleme" mit \(\frac{1}{\text{det}Y(t)}\) bekommst.

[William Kaminger]

Ok, habe es gerade ausprobiert und es scheint zu funktionieren. Ob es der einfachste Weg ist das GS zu lösen ist halt die Frage...

Im 2x2-Fall ist wohl (fast) alles schnell ... :)

[Gast]

Stimmt es, dass das f(x) im Vektor auf der rechten Seite des GS noch durch den Koeffizienten von y'' dividiert wird? (In diesem Fall halt 1.)

[William Kaminger]

Stimmt es, dass das f(x) im Vektor auf der rechten Seite des GS noch durch den Koeffizienten von y'' dividiert wird? (In diesem Fall halt 1.)

Korrekt! Vor der höchsten Ableitung muss ein Einser stehen.